一、考試科目

數(shù)學(xué)分析

二、考試方式

閉卷、筆試

三、考試時間

90 分鐘

四、試卷結(jié)構(gòu)

總分 100 分，其中單項選擇題占 15%，填空題占 24%，計算題占 37%，證明題占 24%。

五、參考教材：

數(shù)學(xué)分析.(上、下冊)/華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.—4 版.—北京：高等教育出版社，2010.7

六、考試基本要求

考生應(yīng)按本大綱的要求，理解或掌握數(shù)學(xué)分析中的實數(shù)集與函數(shù)、數(shù)列與函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)性、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、多元函數(shù)微分學(xué)、多元函數(shù)積分學(xué)及級數(shù)斂散性的基本概念和基本理論;理解或掌握上述各部分的基本方法。

考生應(yīng)理解各部分知識結(jié)構(gòu)及知識的內(nèi)在聯(lián)系。

考生應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和空間想象能力;

能運用所學(xué)知識正確地推理和證明，準(zhǔn)確地計算;能綜合運用數(shù)學(xué)分析中的基本理論、基本方法分析和解決簡單的實際問題。

七、考試范圍

第一章 實數(shù)集與函數(shù)

考試內(nèi)容：

1.實數(shù)分類、實數(shù)的性質(zhì)(對四則運算的封閉性、有序性、阿基米德性、稠密性)、絕對值與不等式;

2.區(qū)間、鄰域、數(shù)集、確界原理;

3.函數(shù)表示法、函數(shù)四則運算、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、初等函數(shù);

4.有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)。

基本要求：

1.熟練掌握實數(shù)域及性質(zhì);

2.掌握絕對值不等式;

3.熟練掌握鄰域、上確界、下確界概念以及確界原理;

4.牢固掌握函數(shù)的復(fù)合法則、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及某些特性(單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等)。

第二章 數(shù)列極限

考試內(nèi)容：

1.數(shù)列極限的定義及其幾何意義、無窮小數(shù)列;

2.收斂數(shù)列的唯一性、有界性、保號性、不等式性、迫斂性、四則運算法則;

3.單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則。

基本要求：

1.理解數(shù)列極限的定義;

2.理解收斂數(shù)列的若干性質(zhì)，會求數(shù)列極限;

3.掌握數(shù)列收斂的條件(單調(diào)有界原理、迫斂法則、柯西準(zhǔn)則等)。

第三章 函數(shù)極限

考試內(nèi)容：

1.函數(shù)極限的概念，單側(cè)極限及其與極限的關(guān)系;

2.函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性、迫斂性、四則運算法則;

3.函數(shù)極限的單調(diào)有界定理、歸結(jié)原則、柯西準(zhǔn)則;

4.兩個重要的極限;

5.無窮小量和無窮大量的比較。

基本要求：

1.熟練掌握函數(shù)極限的概念;

2.掌握函數(shù)極限的若干性質(zhì);

3.掌握函數(shù)極限存在的條件(歸結(jié)原則，柯西準(zhǔn)則，左、右極限、單調(diào)有界等);

4.熟練應(yīng)用兩個重要的極限;

5.掌握無窮小(大)的定義、性質(zhì)、階的比較。

第四章 函數(shù)的連續(xù)性

考試內(nèi)容：

1.函數(shù)在一點連續(xù)(左、右連續(xù))及間斷點的概念、間斷點的分類;

2.連續(xù)函數(shù)的局部有界性、局部保號性，連續(xù)函數(shù)的四則運算及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性;

3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值性、介值性、根的存在性定理，反函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性、一致連續(xù)性。

基本要求：

1.熟練掌握 f(x)在 x 點連續(xù)的定義和等價定義;

2.熟練掌握間斷點及其分類;

3.熟練掌握 f(x)在一點連續(xù)性質(zhì)及在區(qū)間上連續(xù)性質(zhì);

4.熟練掌握初等函數(shù)的連續(xù)性。

第五章 導(dǎo)數(shù)和微分

考試內(nèi)容：

1.平面曲線切線與瞬時速度問題、導(dǎo)數(shù)定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)函數(shù);

2.導(dǎo)數(shù)的四則運算、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù);

3.微分的概念、微分的四則運算、一階微分形式不變性、近似計算與誤差估計;

4.高階導(dǎo)數(shù)與高階微分、參數(shù)方程和隱函數(shù)求導(dǎo)法。

基本要求：

1.熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義，理解幾何、物理意義;

2.掌握并熟練應(yīng)用求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式;

3.會求各類函數(shù)(復(fù)合函數(shù)、參變量函數(shù)、隱函數(shù)、冪指函數(shù))的導(dǎo)數(shù)和部分函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)(萊布尼茨公式);

4.掌握微分的概念，并會用微分進(jìn)行近似計算;

5.掌握一元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。

第六章 微分中值定理及應(yīng)用

考試內(nèi)容：

1.費馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理;

2.各個類型不定式極限;

3.函數(shù)的單調(diào)性與極值;

4.函數(shù)的凸凹性與拐點;

5.函數(shù)圖象的討論。

基本要求：

1.熟練掌握微分中值定理;

2.會運用洛必達(dá)法則求極限;

3.會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值等;

4.掌握凸函數(shù)概念及性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)定義判定凹凸性及拐點;

5.能通過一定的計算進(jìn)行函數(shù)圖象的討論。

第八章 不定積分

考試內(nèi)容：

1.原函數(shù)、不定積分、基本積分表、不定積分的線性運算法則;

2.第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法;

3.有理函數(shù)的積分、三角函數(shù)有理式的積分、某些簡單無理函數(shù)的積分。

基本要求：

1.理解原函數(shù)與不定積分的概念，熟練運用基本積分公式;

2.熟練掌握換元積分法、分部積分法;

3.掌握有理函數(shù)積分步驟，并會求可化為有理函數(shù)的積分。

第九章 定積分

考試內(nèi)容：

1.定積分的定義、函數(shù)的可積條件(必要條件，可積準(zhǔn)則，可積函數(shù)類(三個充分條件));

2.定積分的線性性質(zhì)、積分區(qū)間的可加性、單調(diào)性、絕對可積性等性質(zhì)，積分中值定理;

3.變上限積分函數(shù)概念與性質(zhì)，牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法。

基本要求：

1.掌握定積分定義、性質(zhì)、可積條件，會用定義進(jìn)行一些數(shù)列極限的計算;

2.熟練掌握微積分基本定理、積分中值定量，并能夠加以應(yīng)用;

3.能夠熟練計算定積分;

4.掌握定積分的變換及其一定的應(yīng)用。

第十章 定積分應(yīng)用

考試內(nèi)容：

1.平面圖形的面積;

2.由截面面積求立體體積、旋轉(zhuǎn)體體積;

3.曲線的弧長;

4.旋轉(zhuǎn)曲面的面積;

5.微元法思想及應(yīng)用。

基本要求：

1.能熟練計算各種平面圖形面積;

2.會由截面面積求立體體積、求旋轉(zhuǎn)體的體積;

3.會利用定積分求孤長、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。

第十一章 反常積分

考試內(nèi)容：

1.兩類反常積分的定義;

2.無窮積分的性質(zhì)與收斂判別;

3.瑕積分的性質(zhì)與收斂判別。

基本要求：

1.掌握無窮積分收斂與發(fā)散的概念，會應(yīng)用收斂定義和性質(zhì)計算無窮積分;

2.會用收斂的定義和收斂性判別法判別無窮積分的斂散性;

3.理解瑕積分收斂性定義，會計算某些瑕積分的值;

4.理解瑕積分收斂性的各種判別方法，會運用它們進(jìn)行斂散性判別。

第十二章 數(shù)項級數(shù)

考試內(nèi)容：

1.數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散、和的概念，柯西準(zhǔn)則，收斂級數(shù)的性質(zhì);

2.正級數(shù)的收斂原則、比較原則、比式判別法、根式判別法、積分判別法;

3.交錯級數(shù)及其它一般級數(shù)絕對收斂、條件收斂與發(fā)散的概念與性質(zhì)。

基本要求：

1.掌握數(shù)項級數(shù)斂散的定義、性質(zhì);

2.熟練掌握正項級數(shù)的斂散性判別法;

3.掌握交錯級數(shù)收斂的差別，了解其它一般級數(shù)絕對收斂、條件收斂與發(fā)散的概念與性質(zhì)。

第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

考試內(nèi)容：

1.函數(shù)列的收斂與極限函數(shù)、函數(shù)項級數(shù)收斂與和函數(shù)、函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性、一致收斂柯西準(zhǔn)則、M 判別法;

2.函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)在一致收斂性條件下極限函數(shù)與和函數(shù)的連續(xù)性、可積性(逐項積分)、可微性(逐項微分)。

基本要求：

1.理解函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)的收斂與一致收斂定義;

2.掌握函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法;

3.掌握函數(shù)列的極限函數(shù)、函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)。

第十四章 冪級數(shù)

考試內(nèi)容：

冪級數(shù)、阿貝爾定理、收斂半徑和收斂域、內(nèi)閉一致收斂性、和函數(shù)的連續(xù)性、可積性(逐項積分)、可微性(逐項微分)。

基本要求：

1.熟練掌握冪級數(shù)收斂域，收斂半徑及和函數(shù)的求法;

2.了解冪級數(shù)的若干性質(zhì);

3.了解求一般任意階可微函數(shù)的冪級數(shù)展開式的方法，會利用間接法求一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展式。

第十五章 傅里葉級數(shù)

考試內(nèi)容：

三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、收斂定理、以 2π為周期的函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式，以及其特殊的正弦或余弦級數(shù)展開式。

基本要求：

1.熟記傅里葉系數(shù)公式，并會求以 2π為周期的傅立葉級數(shù);

2.會求以 2π為周期的函數(shù)的正弦或余弦級數(shù)展開式。

第十六章 多元函數(shù)極限與連續(xù)

考試內(nèi)容：

1.平面點集的鄰域、內(nèi)點、外點、界點、聚點、孤立點，開集、閉集、開域、閉域、區(qū)域;

2.二元函數(shù)的概念及幾何表示、任意多元函數(shù)的概念;

3.二元函數(shù)的極限(重極限、累次極限)的概念、性質(zhì)、求法及關(guān)系;

4.二元連續(xù)函數(shù)連續(xù)，閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

基本要求：

1.了解平面點集的若干概念;

2.掌握二元函數(shù)重極限與二次極限的定義、性質(zhì)，以及二者的關(guān)系;

3.掌握二元連續(xù)函數(shù)定義，閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

第十七章 多元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容：

1.多元函數(shù)的可微性、偏導(dǎo)數(shù)概念、幾何意義、求法;

2.多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及全微分;

3.空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線。

基本要求：

1.熟練掌握多元函數(shù)的可微、偏導(dǎo)數(shù)的概念、求法，掌握二元函數(shù)連續(xù)、可微、偏導(dǎo)數(shù)以及偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)等概念之間關(guān)系;

2.會計算多元函數(shù)的二階、三階偏導(dǎo)數(shù);

3.掌握空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線。

第十八章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

考試內(nèi)容：

1.隱函數(shù)概念、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法;

2.條件極值概念、會應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)的條件極值。

基本要求：

1.理解由一個方程確定的隱函數(shù)的條件，隱函數(shù)性質(zhì)，掌握隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(偏導(dǎo))求法;

2.掌握條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。

第二十章 曲線積分

考試內(nèi)容：

1.第一型曲線積分的計算;

2.第二型曲線積分的計算。

基本要求：

1.掌握兩類曲線積分的概念及計算;

2.了解兩類曲線積分的性質(zhì)。

第二十一章 重積分

考試內(nèi)容：

1.二重積分概念、可積條件、性質(zhì);

2.二重積分化為累次積分的計算方法、二重積分的極坐標(biāo)變換法;

3.格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性;

4.三重積分概念、性質(zhì);

5.三重積分化為累次積分的計算方法、三重積分換元法(柱面坐標(biāo)變換、球面坐標(biāo)變換)。

基本要求：

1.了解二重積分、三重積分定義與性質(zhì);

2.熟練掌握二重積分的計算;

3.掌握格林公式的應(yīng)用、曲線積分與路線的無關(guān)性定理的應(yīng)用;

4.較熟練掌握三重積分的計算。

第二十二章 曲面積分

考試內(nèi)容：

1.第一型曲面積分、第二型曲面積分的概念、性質(zhì)及計算;

2.高斯公式與斯托克斯公式的應(yīng)用。

基本要求：

1.掌握兩類曲面積分的概念及計算;

2.了解兩類曲面積分的性質(zhì);

3.理解兩類曲面積分的關(guān)系;

4.掌握高斯公式和斯托克斯公式。